Matemática / Trigonometria
Um giro conecta tudo.
No círculo de raio 1, um ângulo θ determina o ponto P = (cos θ, sen θ). A partir dessas duas coordenadas, você encontra as seis funções trigonométricas.
Ferramenta interativa · V2
Círculo unitário
Arraste o ponto, escolha uma função e acompanhe os gráficos. Compare ângulos e veja por que algumas funções ficam indefinidas.
Abrir o laboratório →As seis funções
Aqui, x e y são as coordenadas de P. “sen” e “sin” representam o mesmo seno; “tg” e “tan”, a mesma tangente.
| Função | No círculo unitário | No triângulo retângulo¹ | Indefinida quando |
|---|---|---|---|
| Seno · sen | y | Oposto / hipotenusa | Nunca |
| Cosseno · cos | x | Adjacente / hipotenusa | Nunca |
| Tangente · tg | y / x | Oposto / adjacente | θ = 90° + 180°k |
| Cotangente · cotg | x / y | Adjacente / oposto | θ = 180°k |
| Secante · sec | 1 / x | Hipotenusa / adjacente | θ = 90° + 180°k |
| Cossecante · cossec | 1 / y | Hipotenusa / oposto | θ = 180°k |
¹ Para um ângulo agudo do triângulo; o círculo estende as definições aos demais ângulos. Em todas as fórmulas, k é um número inteiro.
Identidades que valem guardar
sen² θ + cos² θ = 1
1 + tg² θ = sec² θ
1 + cotg² θ = cossec² θ
A primeira vem de Pitágoras: x² + y² = 1. Dividir tudo por cos² θ ou sen² θ produz as outras duas, onde os denominadores são diferentes de zero.
Graus ↔ radianos
180° = π rad
radianos = graus × π / 180
graus = radianos × 180 / π
Uma volta tem 360° ou 2π rad. Meia volta tem 180° ou π rad. Um quarto de volta tem 90° ou π/2 rad.
Os sinais em cada quadrante
Sen e cossec têm o sinal de y; cos e sec, o sinal de x; tg e cotg, o sinal de y/x. Os eixos não pertencem aos quadrantes.
| Quadrante | Ângulo | sen / cossec | cos / sec | tg / cotg |
|---|---|---|---|---|
| I · direita, acima | 0° < θ < 90° | + | + | + |
| II · esquerda, acima | 90° < θ < 180° | + | − | − |
| III · esquerda, abaixo | 180° < θ < 270° | − | − | + |
| IV · direita, abaixo | 270° < θ < 360° | − | + | − |
Ângulos notáveis
Comece pelos ângulos do primeiro quadrante. Para os outros, use o ângulo de referência e os sinais da tabela acima.
| θ | Radianos | sen | cos | tg | cotg | sec | cossec |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 | indef. | 1 | indef. |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 | 2√3/3 | 2 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 | 2 | 2√3/3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | indef. | 0 | indef. | 1 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 | indef. | −1 | indef. |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | indef. | 0 | indef. | −1 |
Períodos e valores possíveis
Seno e cosseno ficam entre −1 e 1 e se repetem a cada 360° (2π). Tangente e cotangente podem assumir qualquer valor real e se repetem a cada 180° (π). Secante e cossecante se repetem a cada 360° e têm módulo maior ou igual a 1.
Recíproco ≠ função inversa. Sec θ é 1/cos θ. Já arccos x responde qual ângulo tem cosseno x, usando um intervalo definido para escolher a resposta. E “indefinida” significa que a divisão não existe naquele ponto, mesmo quando a curva cresce sem limite por perto.